Por  Heron Bussolim


Figura 1: GETTY IMAGES

Número primo é, falando de números naturais, um número que pode ser dividido por 1 ou por ele mesmo, ou seja, o número primo não será resultado de nenhuma multiplicação. No passado podíamos esbarrar com algum matemático no bar e numa conversa ter sua afirmação que o número 1 é um número primo, mas depois do século XIX, o 1 foi retirado de uma vez desse clube, portanto 0 e 1 NÃO são números primos. Também dentre os números primos o 2 é o único que é par!


Vamos falar do Teorema dos números Primos, se você escolher um número n aleatoriamente a probabilidade de ele ser um número primo é aproximadamente inversamente proporcional ao logaritmo natural de n, ou seja, quanto maior o n menor a chance de se ter um número primo. Veja no exemplo a seguir como isso funciona:


 Figura 1:Devido as aproximações os resultados não são exatos, mas você chega no número exato de probabilidade quando se retira todas as aproximações usadas neste texto

  Figura 2: Devido as aproximações os resultados não são exatos, mas você chega no número exato de probabilidade quando se retira todas as aproximações usadas neste texto.


Para saber se o número que escolhemos é primo temos um trabalho muito complicado: Experimenta-se divisões, se n for o número a ser investigado; testa números maiores que 1 e menor que n/2, acima disso não faz mais sentido, repara-se que manualmente é bem difícil fazer todo esse trabalho se o número for grande demais, é bom ter um ótimo computador do seu lado! O maior número primo já descoberto até hoje é 257.885.165-1, tem nada menos que 17.425.170 algarismos. Existe uma razão, que veremos mais à frente, para números primos grandes serem tão importantes. Apesar de temos um número com mais de 17 milhões de algarismos, e isso já é grande o suficiente, existe um prêmio para quem achar o primeiro número primo com mais de 100 milhões de algarismos oferecido pela Eletronic Frontier Foundation.


A descoberta de Erastóstenes, um jeito fácil de achar os números primos pequenos é voltar no tempo e fazer uma série de tabuadas, primeiro você escreve números naturais entre 1 e 100, por exemplo, todos os resultados que aparecerem nas tabuadas de 1 á 10 você risca dessa tabela, os números não riscados são primos! Isto é chamado de crivo de Erastóstenes, como na figura abaixo:



 Figura 3: Crivo de Eratóstenes.



Os números primos foram esquecidos durante muito tempo, tendo pouca importância para os cientistas, até surgir os computadores!


A era da informática: Enviamos cotidianamente zilhões de informações pela rede, entre elas temos: senhas, contas de banco, informações pessoais, mensagens, fotos e etc. Então existe uma necessidade muito grande de proteger o tráfego dessas informações, logo as empresas responsáveis por isso têm o trabalho de criptografá-las, existem dois tipos de criptografia a Simétrica e a Assimétrica.


Criptografia Simétrica: Usa uma chave de proteção para quem vai enviar o arquivo e quem vai receber, só os dois sabem esta chave, não precisa de números primos.


Criptografia Assimétrica: utiliza um sistema de número composto por primos e criando uma chave pública.


Funciona assim: Comece multiplicando dois números primos, formando assim um composto: P1*P2=C


Este C é chamado de chave pública que o banco, ou outra empresa como o WhatsApp por exemplo, vai mandar para quem for criptografar. Quando você comprar algo para comer com seu cartão de crédito, estas informações serão criptografadas do seu lado da conexão com esta chave pública, chegando do outro lado usando P1 e P2, descriptografa-se e finaliza o seu pedido. Isso só dá certo porque é muito difícil achar compostos de números primos grandes! Caso um hacker malicioso intercepte estas informações levará 1000 anos de computação para achar os números primos originais.


O governo vive com interesse em saber informações nossas, para prever eventuais riscos à segurança e por isso sempre pedem à estas empresas que forneçam uma janela pra eles terem acesso, não a tudo, mas para suspeitos em potencial, por isso direto temos notícias referente a privacidade dos nossos aplicativos, já que com dados criptografados você pode negociar até a venda de órgãos no WhatsApp, mas faz pensar até onde o governo se conteria em abrir esta janela? E será que as empresas deveriam ter esta janela?


A Espiral de Ulam, ou Espiral dos Primos, é um método simples de representar os números primos através de um grafo, em um congresso de 1963, Stanislaw Ulam, entediado começou a rabiscar números numa espiral, e sem querer fez uma descoberta incrível. Com 1 no centro seguiu como na figura:


 Figura 4: Espiral de Ulam, ou Espiral dos Primos.


Observou-se que os números primos tem uma tendência muito grande a se pôr nas diagonais:


 Figura 5: Espiral de Ulam


Quanto maior a espiral mais se nota este padrão; e se usarmos um software para fazer os números primos ser um pixel preto enquanto os outros serem um pixel branco temos:


 Figura 6: Impressão de um software, fazendo cada número primo um pixel preto, e os demais números são pixels brancos.


Há algum padrão, o que é mais do que poderíamos pedir, já que até hoje não achamos nenhum jeito de achar uma “regra” para números primos e se acharmos ele já não seria talvez um candidato tão bom para criptografias.

Texto inspirado no capítulo 19 do livro: "Matemática: O que você quer saber?, Anne Rooney."